Operaciones Aritméticas

Suma o adición

La suma es una operación que se deriva de la operación de contar.

Si tenemos 6 ovejas y compramos 2 ovejas ¿cuantas ovejas tenemos?. Una forma de hacerlo sería volver a contar todas las ovejas, pero alguien que hubiese contado varias veces el mismo caso, recordaria el resultado y no necesitaría volver a contar las ovejas. Sabria que 6 + 2 = 8.

Los términos de la suma se llaman sumandos.

Propiedades de la suma:

a + b = b + a Esta propiedad se llama conmutativa.

Si tenemos que sumar varios numeros podemos hacerlo en cualquier orden (esto se llama propiedad asociativa). Si tenemos que sumar a, b, c y d, podemos sumar primero a + b, despues c + d y despues sumar los dos resultados anteriores, o podemos sumar a + c, despues b + d y despues sumar los dos resultados anteriores o podemos sumar a + b y al resultado sumarle c y al resultado sumarle d. En fin podemos sumar los numeros en cualquier orden.

La suma tiene elemento neutro. El cero es el elemento neutro de la suma porque siempre se cumple que a + 0 = a.

La suma tiene elemento simétrico. El elemento simetrico de un número es otro que sumado al anterior da el elemento neutro. El elemento simetrico de a es -a, porque a + (-a) = 0

Resta o substración

Igual que la suma la resta es una operacion que se deriva de la operacion de contar.

Si tenemos 6 ovejas y los lobos se comen 2 ovejas ¿cuantas ovejas tenemos?. Una forma de hacerlo sería volver a contar todas las ovejas, pero alguien que hubiese contado varias veces el mismo caso, recordaria el resultado y no necesitaría volver a contar las ovejas. Sabria que 6 – 2 = 4.

Los terminos de la resta se llaman minuendo (las ovejas que tenemos) y sustraendo (las ovejas que se comieron los lobos).

Propiedades de la resta:

La resta no tiene la propiedad conmutativa (no es lo mismo a – b que b – a)

Producto o multiplicación

Muchas veces tenemos que sumar un número consigo mismo varias veces. Por ejemplo, si tenemos que sumar 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5, sería más breve representarlo asi 5 * 7 (esto significaria sumar 5 condigo mismo 7 veces).

La multiplicación es una forma abreviada de hacer un tipo especial de sumas.

Los terminos de la multiplicación se llaman multiplicando (el numero que se suma) y multiplicador (el número de veces que se suma).

Propiedades de la multiplicación

a * b = b * a. Esta propiedad se llama propiedad conmutativa

Si tenemos que multiplicar varios numeros podemos hacerlo en cualquier orden (esto se llama propiedad asociativa). Si tenemos que multiplicar a, b, c y d, podemos multiplicar primero a . b, despues c . d y despues multiplicar los dos resultados anteriores, o podemos multiplicar a . c, despues b . d y despues multiplicar los dos resultados anteriores o podemos multiplicar a . b y multiplicar el resultado por c y despues multiplicarlo por d. En fin podemos multiplicar los numeros en cualquier orden.

La multiplicación tiene elemento neutro. El uno es el elemento neutro de la multiplicación porque siempre se cumple que a .1 = a.

La multiplicación tiene elemento simétrico. El elemento simetrico de un número es otro que multiplicado por el anterior da el elemento neutro. El elemento simetrico de a es 1/a, porque a / a = 0

a(b + c) = a . c + a . d. Esta propiedad se llama distributiva respecto a la suma.

División

La división es la operación que tenemos que hacer para repartir un numero de cosas entre un número de personas.

Los terminos de la división se llaman dividendo (el número de cosas), divisor (el número de personas), cociente (el numero que le corresponde a cada persona) y resto (lo que sobra).

Si el resto es cero la división se llama exacta y en caso contrario inexacta.

Propiedades de la division

La divisón no tiene la propiedad conmutativa. No es lo mismo a/b que b/a.

Potenciación

En bastantes ocasiones tenemos que multiplicar un número por si mismo un número dado de veces.

Por ejemplo: 5 * 5 * 5 * 5 * 5 * 5 * 5

Una forma de representar esta operacion es 57 (esto quiere decir que hay que multiplicar 5 por si mismo 7 veces).

El numero inferior se llama base y el superior exponente.

Propiedades de la potenciación:

am.an = am+n

am/an = am-n

a0 = 1 (se deriva de la propiedad anterior am/am = 1 = am-m = a0)

(am)n = am.n

(a.b.c)m = am . bm .cm

a-n = 1/an (se deriva de la segunda propiedad).

Radicación

La radicacion es la operacion inversa de la potenciación. Supongamos que nos dan un número a y nos piden calcular otro, tal que, multiplicado por si mismo un número b de veces nos da el numero a.

Por ejemplo: calcular qué número multiplicado por si mismo 2 veces da 196. Ese número es 14.

El número que esta dentro de la raiz se llama radicando, el grado de la raiz se llama índice del radical, el resultado se llama raiz.

Podemos considerar la radicación como un caso particular de la potenciación. En efecto, la raiz cuadrada de un numero (por ejemplo a) es igual que a1/2, del mismo modo la raiz cúbica de a es a1/3 y en general, la raiz enesima de un numero a es a1/n.

La mejor forma de resolver los ejercicios de operaciones con raices es convertir las raices a potencias y operar teneiendo en cuenta las propiedades dadas para la operacion de potenciación.

Raiz cuadrada

1- Para calcular la raiz cuadrada de un número se comienza separando el numero en grupos de dos cifras, empezando por la derecha

Por ejemplo: 5560164 lo separaríamos 5’56’01’64

2- A continuacion se calcula un numero entero que elevado al cuadrado sea igual (o lo mas proximo al numero del primer grupo, empezando por la izquierda).

En nuestro ejemplo el primer numero es 5 y el numero entero que elevado al cuadrado se acerca mas a 5 es 2. 2 es la primera cifra de la raiz.

3- Despues se eleva al cuadrado esta cifra y se resta del numero del primer grupo

En nuestro ejemplo 22 = 4 y restandolo del numero del primer grupo que es 5, sale 5 -4 = 1

4- A continuacion ponemos al lado del resto anterior el numero del siguiente grupo

En nuestro ejemplo nos quedaria 156

5- Despues multiplicamos por 2 el numero que hemos calculado hasta el momento de la raiz.

En nuestro ejemplo seria 2 * 2 = 4

6- A continuacion tenemos que buscar un numero que multiplicado por el numero que resulta de multiplicar por 10 el numero anterior y sumarle el numero quee stamos buscando se acerque lo mas posible al numero que tenemos como resto. Ese numero sera el siguiente numero de la raiz.

En nuestro ejemplo el numero seria 3 porque 43 * 3 = 129 que es el numero que se aproxima mas a 156 y la raiz seria 23…

7- Ahora tenemos que volver a calcular el resto restando el numero obtenido del que queriamos obtener realmente.

En nuetro ejemplo: 156 – 129 = 27

8- A continuacion repetimos el paso 4, esto es, ponemos al lado del resto anterior el numero del siguiente grupo

En nuestro ejemplo: 2701

9- A continuación repetimos el paso 5

En nuestro ejemplo: 23 * 2 = 46

10- Despues repetimos el paso 6

En nuestro ejemplo el numero seria 5 porque 465 *5 = 2325 que es el numero que se aproxima mas a 2701 y la raiz seria 235…

11- Despues repetimos el paso 7

En nuetro ejemplo: 2701 – 2325 = 376

12- A continuacion repetimos el paso 8

En nuestro ejemplo: 37664

13 A continuacion repetimos el paso 5

En nuestro ejemplo seria 235 * 2 = 470

14- A continuacion repetimos el paso 6

En nuestro ejemplo el numero seria 8 porque 4708 * 8 = 37664 que es el numero que se aproxima mas a 37664 y la raiz seria 2358

15- A continuacion repetimos el paso 7

En nuestro ejemplo: 37664 – 37664 = 0 En este caso la raiz es exacta pues el resto es cero.

Raiz cubica

1- Para calcular la raiz cúbica de un número se comienza separando el numero en grupos de tres cifras, empezando por la derecha

Por ejemplo: 16387064 lo separaríamos 16’387’064

2- A continuacion se calcula un numero entero que elevado al cubo se aproxime lo mas posible al numero del primer grupo (empezando por la izquierda).

En nuestro ejemplo el primer numero es 16 y el numero entero que elevado al cubo se acerca mas a 16 es 2. 2 es la primera cifra de la raiz.

3- Despues se eleva al cubo esta cifra y se resta del numero del primer grupo

En nuestro ejemplo 23 = 8 y restandolo del numero del primer grupo que es 16, sale 16 – 8 = 8

4- A continuacion ponemos al lado del resto anterior el numero del siguiente grupo.

En nuestro ejemplo nos quedaria 8387

5- Despues tenemos que calcular un numero a que haciendo las operaciones siguientes:

3 * (raiz obtenida hasta el momento)2 * a * 100 + 3 * (raiz obtenida hasta el momento) * a2 * 10 + a3

se aproxime lo mas posible al numero obtenido en el punto 4.

El número a, es el siguiente dígito de la raiz.

En nuestro ejemplo seria ese número sería 5, porque 3 * 22 * 5 * 100 + 3 * 2 * 52 *10 + 53 = 7625

6- A continuacion restamos este numero al numero obtenido en el paso 4.

En nuestro ejemplo: 8387 – 7625 = 762.

7- Repetimos el paso 4

En nuestro ejemplo: 762064

8- Repetimos el paso 5 y el numero obtenido seria el siguiente numero de la raiz.

En el ejemplo sería el 4 porque 3 * 252 * 4 * 100 + 3 * 25 * 42 *10 + 43 = 762064

9 Repetimos el paso 6

En nuestro ejemplo 762064 – 762064 = 0

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