Números Racional3s

En sentido amplio, se llaman números racionales a todo número que puede representarse como el cociente, de dos enteros con denominador distinto de cero (una fracción común). El término «racional» alude a «ración» o «parte de un todo», y no al pensamiento o actitud racional.

Representación gráfica de las fracciones cuyo divisor es 4.

En sentido estricto, número racional es el conjunto de todas las fracciones equivalentes a una dada; de todas ellas, se toma como representante canónico del dicho número racional a la fracción irreducible, la de términos más sencillos.

Definimos un número racional como un decimal finito o infinito periódico (por ejemplo, el número decimal finito 0,75 es la representación decimal del número racional 3/4. El número decimal infinito periódico 0,333… es la representación decimal del número racional 1/3). El número racional permite resolver ecuaciones del tipo ax = b, cuando a y b son números enteros (con «a» distinto de cero).

El conjunto de los números racionales se denota por \mathbb{Q}, que significa «cociente» (Quotient en varios idiomas europeos). Este conjunto de números incluye a los números enteros y es un subconjunto de los números reales. Las fracciones equivalentes entre sí –número racional– son una clase de equivalencia, resultado de la aplicación de una relación de equivalencia al conjunto de números fraccionarios.

Los números racionales cumplen la propiedad arquimediana o de densidad, esto es, para cualquier pareja de números racionales existe otro número racional situado entre ellos, propiedad que no estaba presente en los números enteros, por lo que los números racionales son densos en la recta de los números reales

Construcción de los números racionales

  • Consideremos las parejas de números enteros \left( a,b\right) donde b\neq 0.
  • \frac{a}{b} denota a \left( a,b\right). A  a \, se le llama numerador y a  b \, se le llama denominador
  • Al conjunto de estos números se le denota por \mathbb{Q}. Es decir \mathbb{Q}=\left\{ \frac{p}{q}\mid p\in\mathbb{Z},q\in\mathbb{Z},q\neq0\right\}

En sentido amplio, se llaman números racionales a todo número que puede representarse como el cociente de dos enteros con denominador distinto de cero (una fracción común). El término «racional» alude a «ración» o «parte de un todo», y no al pensamiento o actitud racional.

 Definición de suma y multiplicación en Q

  • Se define la suma \frac{a}{b}+\frac{c}{d} = \frac{ad+bc}{bd}
  • Se define la multiplicación \frac{a}{b}\times\frac{c}{d} = \frac{ac}{bd}

 Relaciones de equivalencia y orden en Q

  • Se define la equivalencia \frac{a}{b}=\frac{c}{d} cuando  ad = bc \,
  • Los racionales positivos son todos los \frac{a}{b} tales que  ab > 0 \,
  • Los racionales negativos son todos los \frac{a}{b} tales que  ab < 0 \,
  • Se define el orden \frac{a}{b}>\frac{c}{d} cuando  ad - bc > 0 \,

 Notación

  • Los números de tipo \frac{-a}{b} son denotados por -\frac{a}{b}
  • Las sumas de tipo \frac{a}{b}+\frac{-c}{d} son denotadas por \frac{a}{b}-\frac{c}{d}
  • \frac{a}{b}\left(\frac{c}{d}\right) denota a \frac{a}{b}\times\frac{c}{d}
  • Todo número \frac{p}{1} se denota simplemente por  p \, .

 Propiedades de los números racionales

El conjunto de los números racionales con la suma y multiplicación definida de esta manera forman un Cuerpo.

 Propiedades de la suma y multiplicación

  • La suma en Q es conmutativa, esto es: \frac{a}{b}+\frac{c}{d} = \frac{c}{d}+\frac{a}{b}
  • La suma en Q es asociativa, esto es: \frac{a}{b}+\left(\frac{c}{d}+\frac{p}{q}\right) = \left(\frac{a}{b}+\frac{c}{d}\right)+\frac{p}{q} = \left(\frac{a}{b}+\frac{p}{q}\right)+\frac{c}{d}
  • La multiplicación en Q es asociativa, esto es: \frac{a}{b}\times\left(\frac{c}{d}\times\frac{p}{q}\right) = \left(\frac{a}{b}\times\frac{c}{d}\right)\times\frac{p}{q}
  • La multiplicación se distribuye en la suma, esto es \frac{a}{b}\times\left(\frac{c}{d}+\frac{p}{q}\right) = \left(\frac{a}{b}\times\frac{c}{d}\right)+\left(\frac{a}{b}\times\frac{p}{q}\right)

 Existencia de neutros e inversos

  • Para cualquier número racional: \frac{a}{b} se cumple que \frac{a}{b}+\frac{0}{1}=\frac{a}{b} entonces \frac{0}{1} es el neutro aditivo de los racionales y se le denota por 0.
  • Para cualquier número racional: \frac{a}{b} se cumple que \frac{a}{b}\times\frac{1}{1}=\frac{a}{b} entonces \frac{1}{1} es el neutro multiplicativo de los racionales y se le denota por 1.
  • Cada número racional: \frac{a}{b} tiene un inverso aditivo \frac{-a}{b} tal que \frac{a}{b}+\frac{-a}{b}=0
  • Cada número racional: \frac{a}{b} con excepción de 0 tiene un inverso multiplicativo \frac{b}{a} tal que \frac{a}{b}\times\frac{b}{a}=1

 Equivalencias notables en Q

  • \frac{ca}{cb}=\frac{a}{b} si c\neq 0 y b\neq 0
  • \frac{a}{c}+\frac{b}{c}=\frac{a+b}{c}
  • \frac{-a}{b}=\frac{a}{-b}=-\frac{a}{b}
  • \frac{0}{a}=\frac{0}{b}=0, a y b ≠ 0
  • \frac{a}{a}=\frac{b}{b}=1, a y b ≠ 0.

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