“GRACIAS”

Gracias profe Alex por su comprensión y por su entusiasmo para poder realizar este blog de Matematics 0.3  y asi al mismo tiempo aprender a realizar un blog gracias por todo profe .. Lo kiero mucho y q Dios lo bendiga siempre y a su familia .¡Gracias por ser mi profesor !..

MUCHAS GRACIAS PROFE ALEZ….

Gracias a todas las personas que visitaron mi blog y esperando que les aya servido de algo y tambien que les aya gustado espero realizar otro blog muy pronto y asi poderles seguir ayudando con algunos otros problemas de matemáticas …

¡HASTA PRONTO!..

Creado por la alumna de tercero básico :

                                                                                    Hilmy Celeste López Orozco.

Productos Notab3les

Productos notables es el nombre que reciben aquellas multiplicaciones con expresiones algebraicas cuyo resultado puede ser escrito por simple inspección, sin verificar la multiplicación que cumplen ciertas reglas fijas. Su aplicación simplifica y sistematiza la resolución de muchas multiplicaciones habituales.

Cada producto notable corresponde a una fórmula de factorización. Por ejemplo, la factorización de una diferencia de cuadrados perfectos es un producto de dos binomios conjugados y recíprocamente.

Factor común

Representación gráfica de la regla de factor común

El resultado de multiplicar un binomio a+b con un término c se obtiene aplicando la propiedad distributiva:

 c (a + b) = c a + c b \,

Esta operación tiene una interpretación geométrica ilustrada en la figura. El área del rectángulo es

 c (a + b) \, (el producto de la base por la altura), que también puede obtenerse como la suma de las dos áreas coloreadas (ca) y (cb).
Ejemplo
 3x (4x + 6y) = 12x^2 + 18xy \,

Binomio al cuadrado o cuadrado de un binomio

Ilustración gráfica del binomio al cuadrado.

Para elevar un binomio al cuadrado (es decir, multiplicarlo por sí mismo), se suman los cuadrados de cada término con el doble del producto de ellos. Es decir:

 (a + b)^2 = a^2 + 2 a b + b^2 \,

un trinomio de la forma: a^2 + 2 a b + b^2 \;, se conoce como trinomio cuadrado perfecto.

Cuando el segundo término es negativo, la ecuación que se obtiene es:

 (a - b)^2 = a^2 - 2 a b + b^2 \,

En ambos casos el tercer término tiene siempre signo positivo.

Ejemplo
(2x - 3y)^2 = (2x)^2 + 2(2x)(-3y) + (-3y)^2 \,

simplificando:

(2x - 3y)^2 = 4x^2 -12xy +9y^2 \,

Producto de dos binomios con un término común

Ilustración gráfica del producto de binomios con un término común

Cuando se multiplican dos binomios que tienen un término común, se suma el cuadrado del término común con el producto el término común por la suma de los otros, y al resultado se añade el producto de los términos diferentes.

(x+a)(x+b)= x^2+(a+b)x+ab \,
Ejemplo
(3x+4)(3x-7) = (3x)(3x) + (3x)(-7) + (3x)(4) + (4)(-7) \,

agrupando términos:

(3x+4)(3x-7) = 9x^2 -21x + 12x -28 \,

luego:

(3x+4)(3x-7) = 9x^2 -9x -28 \,

Producto de dos binomios conjugados 

Producto de binomios conjugados.

Dos binomios conjugados son aquellos que sólo se diferencien en el signo de la operación. Para multiplicar binomios conjugados, basta elevar los monomios al cuadrado y restarlos, obteniendo una diferencia de cuadrados

 (a + b)(a - b) = a^2 - b^2 \,
Ejemplo
(3x+5y)(3x-5y) =  \,
(3x)(3x) + (3x)(-5y) + (5y)(3x) + (5y)(-5y) \,

agrupando términos:

(3x+5y)(3x-5y) = 9x^2 - 25y^2 \,

A este producto notable también se le conoce como suma por la diferencia.

Polinomio al cuadrado

Elevando un trinomio al cuadrado de forma gráfica

Para elevar un polinomio con cualquier cantidad de términos, se suman los cuadrados de cada término individual y luego se añade el doble de la suma de los productos de cada posible par de términos.

(a+b+c)^2 = a^2 +b^2+c^2 + 2(ab+ac+bc) \,
(a+b+c+d)^2 = a^2 +b^2+c^2 + d^2+  2(ab+ac+ad+bc+bd+cd) \,
Ejemplo
 (3x+2y-5z)^2 = (3x+2y-5z)(3x+2y-5z) \,

multiplicando los monomios:

 (3x+2y-5z)^2 = 3x \cdot 3x + 3x \cdot 2y + 3x \cdot (-5z) \,
 + 2y \cdot 3x + 2y \cdot 2y + 2y \cdot (-5z) \,
 + (-5z) \cdot 3x + (-5z) \cdot 2y + (-5z) \cdot (-5z) \,

agrupando términos:

(3x+2y-5z)^2 = 9x^2+4y^2+25z^2 +2(6xy-15xz-10yz) \,

luego:

(3x+2y-5z)^2  = 9x^2+4y^2+25z^2 +12xy-30xz-20yz \,

Binomio al cubo o cubo de un binomio

Descomposición volumétrica del binomio al cubo

Para calcular el cubo de un binomio, se suma: el cubo del primer término, con el triple producto del cuadrado del primero por el segundo, más el triple producto del primero por el cuadrado del segundo, más el cubo del segundo término.

(a+b)^3= a^3+3a^2b+3ab^2+b^3 \,

Identidades de Cauchy:

(a+b)^3= a^3+b^3+3ab(a+b) \,
Ejemplo
(x+2y)^3 = x^3 + 3(x)^2(2y) + 3(x)(2y)^2+(2y)^3 \,

agrupando términos:

(x+2y)^3 = x^3+6x^2y+12xy^2+8y^3 \,

Cuando la operación del binomio es resta, el resultado es: el cubo del primer término, menos el triple producto del cuadrado del primero por el segundo, más el triple producto del primero por el cuadrado del segundo, menos el cubo del segundo término.

(a-b)^3= a^3-3a^2b+3ab^2-b^3 \,

Identidades de Cauchy:

(a-b)^3= a^3-b^3-3ab(a-b) \,
Ejemplo
(x-2y)^3 = x^3 - 3(x)^2(2y) + 3(x)(2y)^2-(2y)^3 \,

agrupando términos:

(x-2y)^3 = x^3-6x^2y+12xy^2-8y^3 \,

Identidad de Argand

(x^2+x+1)(x^2-x+1) = x^4+x^2+1 \,

Identidades de Gauss

a^3+b^3+c^3-3abc= (a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac) \,
a^3+b^3+c^3-3abc= \frac{1}{2} (a+b+c)[(a-b)^2+(b-c)^2+(a-c)^2] \,

Identidades de Legendre

(a+b)^2+(a-b)^2=2(a^2+b^2) \,
(a+b)^2-(a-b)^2=4ab \,
(a+b)^4-(a-b)^4=8ab(a^2+b^2) \,

Identidades de Lagrange

(a^2+b^2)(x^2+y^2) = (ax+by)^2+(ay-bx)^2 \,
(a^2+b^2+c^2)(x^2+y^2+z^2) = (ax+by+cz)^2+(ay-bx)^2+(az-cx)^2+(bz-cy)^2 \,

Otras identidades

Dado que la notabilidad de un producto es un concepto ambiguo, no existe una lista determinante que indique cuales productos son los únicos que pueden llamarse notables y los demás no. Existen otras fórmulas, que aunque menos usadas que las anteriores, pueden en cierto contexto ser consideradas productos notables. Entre ellas se destacan:

adicion de cubos
 a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2) \,
diferencia de cubos
 a^3-b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2) \,

Es más frecuente listar las dos fórmulas anteriores como fórmulas de factorización ya que los productos tienen una forma particularmente simétrica pero el resultado sí (contrastar por ejemplo con la fórmula de binomio al cubo).

 (a+b)(a^2-ab+b^2) = a^3+b^3 \,
 (a-b)(a^2+ab+b^2) = a^3-b^3 \,

La suma y diferencia de cubos se pueden generalizar a sumas y diferencias de potencias n-ésimas:

Suma de potencias n-ésimas
Sí y sólo si “n” es impar,  a^n+b^n = (a+b)(a^{n-1} - a^{n-2}b + a^{n-3}b^2 -\cdots + b^{n-1}) \,
Diferencia de potencias n-ésimas
 a^n-b^n = (a-b)(a^{n-1} + a^{n-2}b + a^{n-3}b^2 +\cdots + b^{n-1}) \,

Las fórmulas de binomio al cuadrado y binomio al cubo se pueden generalizar con el teorema del binomio.

Existe una ingeniosa fórmula para representar un cubo como suma de dos cuadrados:

a^3 = \left(\frac{(a+1)a}{2}\right)^2 - \left(\frac{(a-1)a}{2}\right)^2

Terminos Semejantes

Son aquellos términos que tienen las mismas variables y éstas tienen los mismos exponentes, sin importar cuál es su coeficiente.

Ejemplos:

2x2y3 es semejante a – 2
3 x2y3
-3x5y es semejante a 2yx5
4xy1/2 es semejante a – 2
3 y1/2x
4x2y no es semejante a 3xy2

Para que dos términos sean semejantes, deben ser del mismo género de suma, por ejemplo: 2 manzanas y 4 manzanas son semejantes, de hecho se pueden reducir:

2 manzanas + 4 manzanas = 6 manzanas

de igual manera, 3×2 y 5×2 son términos semejantes, también se pueden sumar:

3×2 + 5×2 = 8×2

pero 3 peras y 2 piñas, no son términos semejantes.

Reducción de términos semejantes
Debido a que los términos semejantes, entre ellos, son géneros de suma iguales, pueden sumarse o restarse unos con otros, basta operar (sumar o restar) a los coeficientes de los mismos.

Se llama reducir términos semejantes a sumarlos o restarlos según cada caso. Los términos no semejantes, no pueden sumarse ni restarse.

EXPLICACION:
terminos semejantes son los q tu ves o identificas las mismas cosas x decirlo asi:
si lo quieres matematicas y estas viendo factorizacion 2xy y 3xy son semejantes ya que tienen las mismas variables. arrriba te daba el ej de las manzanas, los terminos emejantes es como estar hablando de un solo cosa entiendes?
EN matematicas esto te facilita muhco hacer operaciones,ya que si xej tienes:
2x^2+3x^2=5x^2 SOLO TIENES Q SUMAR NORMALMENTE el resto queda = ya q es semenjante
si tienes dos manzanas y tres piñas no las puedes sumar,es decir son como terminos con las mismas variables.

Reducción de términos semejantes

 

En una expresión algebraica se llaman términos semejantes a todos aquellos términos que tienen igual factor literal, es decir, a aquellos términos que tienen iguales letras (símbolos literales) e iguales exponentes.

Por ejemplo:

6 a2b3 es término semejante con – 2 a2b3 porque ambos tienen el mismo factor literal (a2b3)

1/3 x5yz es término semejante con x5yz porque ambos tienen el mismo factor literal (x5yz)

0,3 a2c no es término semejante con 4 ac2 porque los exponentes no son iguales, están al revés.

Reducir términos semejantes significa sumar o restar los coeficientes numéricos en una expresión algebraica, que tengan el mismo factor literal.

Para desarrollar un ejercicio de este tipo, se suman o restan los coeficientes numéricos y se conserva el factor literal.

Recordando cómo se suman los números enteros:

Las reglas de suma se aplican únicamente a dos casos: números de igual signo y números con signo distinto.

Las reglas a memorizar son las siguientes:

a) Números de igual signo: Cuando dos números tienen igual signo se debe sumar y conservar el signo.

      Ej  :         – 3   +   – 8  =   – 11      ( sumo y conservo el signo)

                      12   +   25  =   37       ( sumo y conservo el signo)

        Ej  :   – 7   +   12   =   5    (tener 12 es lo mismo que tener  +12, por lo tanto, los números son de distinto signo y se deben restar: 12  –  7  =   5

b) Números con distinto signo: Cuando dos números tienen distinto signo se debe restar y conservar el signo del número que tiene mayor valor absoluto

                    5   +   – 51   =   – 46    ( es negativo porque el 51 tiene mayor valor absoluto)

                   – 14  +   34   =    20

Recordando cómo se resta:

Para restar dos números o más, es necesario realizar dos cambios de signo porque de esta manera la resta se transforma en suma y se aplican las reglas mencionadas anteriormente.

Son dos los cambios de signo que deben hacerse:

a)      Cambiar el signo de la resta en suma

b)      Cambiar el signo del número que está a la derecha del signo de operación por su signo contrario

Ej:      – 3  –  10    =    – 3    +  – 10  =    – 13   ( signos iguales se suma y conserva el signo)

            19   – 16    =      19 +  – 16   =     19   –    16    =    3

Ejemplo 1:

xy3 – 3 x2y + 5 xy3 – 12 x2y + 6                 Hay dos tipos de factores literales: xy3 y x2y

               Hay también una constante numérica: 6

Para resolver este ejercicio se suman los coeficientes numéricos de  xy3 con  5xy3  y –3 x2y con –12 x2y.

Hay que tener presente que cuando una expresión no tiene un coeficiente, es decir, un número significa que es 1 (x3y = 1 xy3).

xy3 – 3 x2y + 5 xy3 – 12 x2y + 6  =        6 xy3  +  – 15 x2y + 6       

             1 + 5 = 6

               – 3 – 12 = – 15

Ejemplo 2:

3ab – 5abc + 8ab + 6abc –10 + 14ab – 20 =  25ab + 1abc – 30

 Operaciones:

                3 + 8 +14 = 25 ab

                – 5 + 6     =  + 1 abc

                – 10 – 20 = – 30

Triángulos semejantes

Dos triángulos son semejantes si existe una relación de semejanza o similitud entre ambos.

Triángulos semejantes.png

 Teorema fundamental de la semejanza de triángulos

Toda paralela a un lado de un triángulo que no pase por el vértice opuesto, determina con las rectas a las que pertenecen los otros dos lados, un triángulo semejante al dado.

H)

ABC; r || AC
r corta AB en L
r corta BC en M

T) (BLM \sim BAC)

D)

Triangulos semejantes 2.png

 

Monomios. Operaciones

Un monomio es una expresión algebraica formada por productos de números y letras. Con los monomios podemos realizar las operaciones de suma, resta, multiplicación y división.

Monomios semejantes

Dos monomios son semejantes si tienen la misma parte literal. Si dos monomios semejantes tienen coeficientes con signo contrario, se denominan monomios opuestos.

 

  • Monomios semejantes: -3x2 y 5x2.
  • Monomios no semejantes: 6ab2 y 2a2b.
  • Monomios opuestos: -3x2 y 3x2.

 

Álgebra

Álgebra elemental

Álgebra elemental es la forma más básica del álgebra. A diferencia de la aritmética, en donde solo se usan los números y sus operaciones aritméticas (como +, −, ×, ÷), en álgebra los números son representados por símbolos (usualmente a, b, c, x, y, z). Esto es útil porque:

  • Permite la formulación general de leyes de aritmética (como a + b = b + a), y esto es el primer paso para una exploración sistemática de las propiedades de los números reales.
  • Permite referirse a números “desconocidos”, formular ecuaciones y el estudio de cómo resolverlas.
  • Permite la formulación de relaciones funcionales.

                             Estructura  algebraica

En matemáticas, una estructura algebraica es un conjunto de elementos con unas propiedades operacionales determinadas; es decir, lo que define a la estructura del conjunto son las operaciones que se pueden realizar con los elementos de dicho conjunto y las propiedades matemáticas que dichas operaciones poseen. Un objeto matemático constituido por un conjunto no vacío y algunas leyes de composición interna definida en él es una estructura algebraica. Las estructuras algebraicas más importantes son:

Estructura Ley interna Asociatividad Neutro Inverso Conmutatividad
Magma Yes check.svg        
Semigrupo Yes check.svg Yes check.svg      
Monoide Yes check.svg Yes check.svg Yes check.svg    
Monoide abeliano Yes check.svg Yes check.svg Yes check.svg   Yes check.svg
Grupo Yes check.svg Yes check.svg Yes check.svg Yes check.svg  
Grupo abeliano Yes check.svg Yes check.svg Yes check.svg Yes check.svg Yes check.svg

 

Estructura (A,+,·) (A,+) (A,·)
Semianillo Monoide abeliano Monoide
Anillo Grupo abeliano Semigrupo
Cuerpo Grupo abeliano Grupo abeliano

 

  • Módulo
  • Espacio vectorial

Signos y Símbolos

En el álgebra se utilizan signos y símbolos -en general utilizados en la teoría de conjuntos- que constituyen ecuaciones, matrices, series, etc. Sus letras son llamadas variables, ya que se usa esa misma letra en otros problemas y su valor va variando.

Aquí algunos ejemplos:

Signos y Símbolos
Expresión Uso
+ Además de expresar adición, también es usada para expresar operaciones binarias
c ó k Expresan Términos constantes
Primeras letras del abecedario
a, b, c,…
Se utilizan para expresar cantidades conocidas
Últimas letras del abecedario
…,x, y, z
Se utilizan para expresar incógnitas
n Expresa cualquier número (1,2,3,4,…,n)
Exponentes y subíndices
a', a'', a'''; a _1, a _2, a _3 \!
Expresar cantidades de la misma especie

Álgebra

ecuación El álgebra es muy divertida – ¡puedes resolver puzzles! balanza

En vez de un juego donde corres, saltas o encuentras puertas secretas, en el álgebra juegas con letras, números y símbolos.

Y cuando hayas aprendido algunos de los “trucos”, se convierte en todo un desafío de usar tus habilidades para resolver cada “puzzle”.

chica con álgebra

Lo básico

  Introducción al álgebra
  Balancear cuando sumas y restas (animación)
  Introducción al álgebra – Multiplicación
  Orden de las operaciones – PEMDAS
  Sustitución
  Ecuaciones y fórmulas
definiciones Definiciones básicas de álgebra

Exponentes

  ¿Qué es un exponente?
  Exponentes negativos
  El recíproco en álgebra
  Raíces cuadradas, Raíces cúbicas y Raíces n-ésimas
  Simplificar raíces
  Exponentes fraccionarios
  Leyes de los exponentes
  Multiplicar y dividir variables con exponentes

Simplificar

  Expandir (quitar paréntesis)
  Multiplicar negativos
  Leyes asociativas, conmutativas y distributiva
  Multiplicar en cruz
chico con álgebra

 

chica con álgebra

Polinomios

  ¿Qué es un polinomio?
  Sumar y restar polinomios
  Multiplicar polinomios
  Expresiones racionales
  Conjugar
  Racionalizar el denominador

Ecuaciones lineales

  Ecuación de una línea recta
  Explora el gráfico de una línea recta
  Coordenadas cartesianas

Ecuaciones cuadráticas

  ¿Qué es una ecuación cuadrática?
  Derivación de la fórmula cuadrática
  Solucionador de ecuaciones cuadráticas
  Completar el cuadrado

 

Funciones

  Definición de una función

Sucesiones y series

  Sucesiones y series
  Sucesiones – Encontrar la regla

Más…

√2 Números irracionales
  Menú de decimales
  Menú de fracciones
  Grado de una expresión
chica con álgebra

Fracciones

Representación de las fracciones

Las fracciones se pueden representar de diversas formas, así, la fracción “tres dividido entre cuatro”, “tres entre cuatro”, “tres partido en cuatro” o “tres cuartos” puede escribirse de cualquiera de estas formas:

  •  \dfrac{3}{4}
  • 3 ÷ 4
  • 3 : 4
  • 3/4

En este ejemplo, el número 3 se llama numerador y el 4 denominador. Las fracciones son números racionales, lo que significa que el numerador y el denominador son números enteros. Su valor, en forma decimal es 0,75, el mismo resultado que se obtiene al dividir 3 entre 4.

En el caso de una representación gráfica, se puede trazar un círculo dividido en cuatro partes iguales, de las que se retiraría una de las cuatro partes: las tres partes sobrantes representan la fracciones  Clasificación de fracciones

Existen diversas formas para clasificar fracciones, entre ellas están las siguientes proporciones para cada una:

  • Según la relación entre el numerador y el denominador:
    • Fracción propia: fracción que tiene su denominador mayor que su numerador: 3/6, 2/5, 3/4
    • Fracción impropia: fracción en donde el numerador es mayor que el denominador: 13/6, 18/8, 4/2
  • Según la relación entre los denominadores:
    • Fracción homogénea: fracciones que tienen el mismo denominador: 3/4 y 7/4
    • Fracción heterogénea: fracciones que tienen diferentes denominadores: 3/9 y 4/11
  • Según la relación entre el numerador y el denominador:
    • Fracción reducible: fracción en la que el numerador y el denominador no son primos entre sí y puede ser simplificada.
    • Fracción irreducible: fracción en la que el numerador y el denominador son primos entre sí, y, por tanto, no puede ser simplificada.
  • Otras clasificaciones:
    • Fracción unitaria: fracción común de numerador 1.
    • Fracción egipcia: sistema de representación de las fracciones en el Antiguo Egipto en el que cada fracción se expresa como suma de fracciones unitarias.
    • Fracción aparente o entera: fracción que representa cualquier número perteneciente al conjunto de los enteros: 3/3=1 12/4=3
    • Fracción decimal: fracción cuyo denominador es una potencia de diez. También puede ser una fracción expresada en base 10, en contraposición con las fracciones binarias y demás, que están expresadas en otros sistemas de numeración.
    • Fracción mixta: suma de un entero y una fracción propia. Las fracciones mixtas se pueden expresar como fracciones impropias: 3 1/4
    • Una fracción irracional es, dado que todas las fracciones deben poder ser expresadas como fracciones vulgares, una término autocontradictorio. Un número irracional es, por definición, no racional, es decir, no puede ser expresado como una fracción vulgar.
    • Una fracción continua es una expresión como ésta:
x = a_0 + \frac{1}{a_1 + \frac{1}{a_2 + \frac{1}{a_3+\dots}}}
donde los ai son enteros positivos.
    • Fracción compuesta: fracción cuyo numerador o denominador (o los dos) contiene a su vez fracciones.
    • Fracción parcial: la que puede usarse para descomponer una función racional.
    • Fracción como razón:Sirve a la pregunta ¿en qué relación están? ya que pone de manifiesto la relación que mantienen un par de números que pueden provenir de una comparación.

 Fracción de una cantidad

Si queremos dividir una cantidad en varias partes e indicar un número de esas partes, podemos hacerlo mediante fracciones, dividiendo la cantidad por el denominador y multiplicando el resultado por el numerador. Así, si queremos indicar 3/4 (tres cuartos, o tres cuartas partes) de 453, hay que dividir 453 entre el denominador (en este caso, 4) y multiplicar el resultado por el numerador (en este caso, 3). El número obtenido es la fracción que queremos indicar.

\frac{3}{4} + \frac{1}{4}  = 1

tres cuartos más un cuarto

Una fraccion  es un número escrito en la forma  a/b , de tal modo que b no sea igual a  cero. Recuerda que todo número que se puede escribir de la forma a/b  se llama número racional.  El numerador es el número que está sobre la barra de fracción; en este caso, la a.   El denominador es el número que está debajo de la barra de fracción, o sea, la b.  El denominador es el número de partes en que está dividido el entero, el conjunto o grupo.
                                                                         
  

|__________________1/2________________|______________1/2___________________|

                                     1       una mitad o un medio (De las seis tazas de café yo me tomé la mitad, o sea tres.)
                                     2
 

  
|______________1/3_______  _|_________1/3___________|_________1/3____________|

     1   un tercio. (Marili se tomó una tercer parte o un tercio de las seis tazas de café o sea dos.

     3
 

     |_______1/4___________|__________1/4___________|________1/4__________|_______1/4_____________|   
 

                            3/ 4   un cuarto. (Tomasito se comió tres cuarta parte de los brocollies. Se comió seis de los ocho pedazos. 

Piensa acerca de los ejemplos anteriores. 

Fíjate que el denominador (el número de abajo), te dice en cuántos grupos se va a dividir. El número de arriba te dice de cuántos grupos estamos hablando. Cada 1/4 de los brocolis se compone de 2 pedazos. Si se comió 3/4 (es decir tres cuarto ) pues se comió 3 grupos y cada grupo tiene 2 pedazos, por lo tanto se comió 6 pedazos en total.

                                                                                  

Veamos como se leen otras fracciones:

1 quinto                                                1  un sexto
5                                                            6
 

1  un séptimo                                        1   un octavo
7                                                             8
 

1  un noveno                                            1  un décimo
9                                                              10
 

 1  un onceavo                                         1 un doceavo
11                                                             12
 

 1 un treceavo                                          1 un catorceavo
13                                                              14
 

 1 un quinceavo                                        un dieciseisavo
15                                                             16

 1 un diecisieteavo                                  un dieciochoavo
17                                                              18

1 un diecinueveavo                                1 un veinteavo
19                                                             20

   1  una centésima
 100
 
 

Ejemplo: La fracción 1 ; el numerador es el 1; y el denominador es el 3.
                                     3
 

                                                1  – numerador

                                3  – denominador
 
 

Una fracción es propia cuando el numerador es menor  que el denominador.
 

Ejemplo:  1   ,   2  ,    3
                  2      3       7
 

Una fracción es impropia cuando el numerador es mayor que el denominador.

Ejemplo:    ,     5 ,     7
                 3         2       4
 
 
 

Las fracciones representan una división; y tambien representan parte de un entero.

Ejemplo:

a. Una fraccion indicando división: 6
                                                             2
 

6 ÷ 2 = 3        

                      |___________|__________|

Un grupo de seis bolitas dividida entre dos significa que cada grupo va a tener 3 bolitas.

                6 bolitas    =  2 grupos de 3 bolitas
                2 grupos

b. Una fraccion indicando parte de un entero:
 
 
 

               1                            La parte sombreada indica 1 parte de algo que fue dividido
                5                            en  5 partes iguales.
 
 


Simplificación de Fracciones

 Las fracciones se pueden reducir o simplificar; y el resultado sería una fracción equivalente. Por ejemplo, 3/6 se  puede simplificar  dividiendo por un numero que sea divisible por 3 y 6; en este caso, el 3:
 

   3 ÷ 3 =                  Por lo tanto, 3 y 1 son fracciones equivalentes.
   6    3     2                                       6    2
 

Para encontrar fracciones equivalentes, se divide o se multiplica el denominador y numerador por un mismo numero que no sea 0.
 

Ejemplo:      .   3     =    3
                   4         3         12            1  y  3 son fracciones    equivalentes.
                                                          4     12
 

Nota:  Una fracción que tenga 0 de denominador es un número indefinido.

Ej.   7 =  ND    Es decir, la división por cero no se puede hacer.
       0
 
 

 7 ÷ 0 = ND
 

Se  puede determinar también si las fracciones  son equivalentes multiplicando cruzado.
 

Ejemplo         =                
                  12           6           
        2 · 6   = 12     1 2 · 1 =  12

Al multiplicar observamos que ambos productos son iguales, por lo tanto las fracciones son equivalentes.

Para determinar si una fracción es menor o mayor que otra fracción, tambien se puede multiplicar cruzado.

Por ejemplo:    1     ?    3               y    
                          9         10
            10 · 1 = 10       9  · 3 = 27

                       10  <    27    (10 es menor que 27, por lo tanto)

                          1    <     3               (1/9 es menor que 3/10)   
                          9          10                    

Operaciones Aritméticas

Suma o adición

La suma es una operación que se deriva de la operación de contar.

Si tenemos 6 ovejas y compramos 2 ovejas ¿cuantas ovejas tenemos?. Una forma de hacerlo sería volver a contar todas las ovejas, pero alguien que hubiese contado varias veces el mismo caso, recordaria el resultado y no necesitaría volver a contar las ovejas. Sabria que 6 + 2 = 8.

Los términos de la suma se llaman sumandos.

Propiedades de la suma:

a + b = b + a Esta propiedad se llama conmutativa.

Si tenemos que sumar varios numeros podemos hacerlo en cualquier orden (esto se llama propiedad asociativa). Si tenemos que sumar a, b, c y d, podemos sumar primero a + b, despues c + d y despues sumar los dos resultados anteriores, o podemos sumar a + c, despues b + d y despues sumar los dos resultados anteriores o podemos sumar a + b y al resultado sumarle c y al resultado sumarle d. En fin podemos sumar los numeros en cualquier orden.

La suma tiene elemento neutro. El cero es el elemento neutro de la suma porque siempre se cumple que a + 0 = a.

La suma tiene elemento simétrico. El elemento simetrico de un número es otro que sumado al anterior da el elemento neutro. El elemento simetrico de a es -a, porque a + (-a) = 0

Resta o substración

Igual que la suma la resta es una operacion que se deriva de la operacion de contar.

Si tenemos 6 ovejas y los lobos se comen 2 ovejas ¿cuantas ovejas tenemos?. Una forma de hacerlo sería volver a contar todas las ovejas, pero alguien que hubiese contado varias veces el mismo caso, recordaria el resultado y no necesitaría volver a contar las ovejas. Sabria que 6 – 2 = 4.

Los terminos de la resta se llaman minuendo (las ovejas que tenemos) y sustraendo (las ovejas que se comieron los lobos).

Propiedades de la resta:

La resta no tiene la propiedad conmutativa (no es lo mismo a – b que b – a)

Producto o multiplicación

Muchas veces tenemos que sumar un número consigo mismo varias veces. Por ejemplo, si tenemos que sumar 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5, sería más breve representarlo asi 5 * 7 (esto significaria sumar 5 condigo mismo 7 veces).

La multiplicación es una forma abreviada de hacer un tipo especial de sumas.

Los terminos de la multiplicación se llaman multiplicando (el numero que se suma) y multiplicador (el número de veces que se suma).

Propiedades de la multiplicación

a * b = b * a. Esta propiedad se llama propiedad conmutativa

Si tenemos que multiplicar varios numeros podemos hacerlo en cualquier orden (esto se llama propiedad asociativa). Si tenemos que multiplicar a, b, c y d, podemos multiplicar primero a . b, despues c . d y despues multiplicar los dos resultados anteriores, o podemos multiplicar a . c, despues b . d y despues multiplicar los dos resultados anteriores o podemos multiplicar a . b y multiplicar el resultado por c y despues multiplicarlo por d. En fin podemos multiplicar los numeros en cualquier orden.

La multiplicación tiene elemento neutro. El uno es el elemento neutro de la multiplicación porque siempre se cumple que a .1 = a.

La multiplicación tiene elemento simétrico. El elemento simetrico de un número es otro que multiplicado por el anterior da el elemento neutro. El elemento simetrico de a es 1/a, porque a / a = 0

a(b + c) = a . c + a . d. Esta propiedad se llama distributiva respecto a la suma.

División

La división es la operación que tenemos que hacer para repartir un numero de cosas entre un número de personas.

Los terminos de la división se llaman dividendo (el número de cosas), divisor (el número de personas), cociente (el numero que le corresponde a cada persona) y resto (lo que sobra).

Si el resto es cero la división se llama exacta y en caso contrario inexacta.

Propiedades de la division

La divisón no tiene la propiedad conmutativa. No es lo mismo a/b que b/a.

Potenciación

En bastantes ocasiones tenemos que multiplicar un número por si mismo un número dado de veces.

Por ejemplo: 5 * 5 * 5 * 5 * 5 * 5 * 5

Una forma de representar esta operacion es 57 (esto quiere decir que hay que multiplicar 5 por si mismo 7 veces).

El numero inferior se llama base y el superior exponente.

Propiedades de la potenciación:

am.an = am+n

am/an = am-n

a0 = 1 (se deriva de la propiedad anterior am/am = 1 = am-m = a0)

(am)n = am.n

(a.b.c)m = am . bm .cm

a-n = 1/an (se deriva de la segunda propiedad).

Radicación

La radicacion es la operacion inversa de la potenciación. Supongamos que nos dan un número a y nos piden calcular otro, tal que, multiplicado por si mismo un número b de veces nos da el numero a.

Por ejemplo: calcular qué número multiplicado por si mismo 2 veces da 196. Ese número es 14.

El número que esta dentro de la raiz se llama radicando, el grado de la raiz se llama índice del radical, el resultado se llama raiz.

Podemos considerar la radicación como un caso particular de la potenciación. En efecto, la raiz cuadrada de un numero (por ejemplo a) es igual que a1/2, del mismo modo la raiz cúbica de a es a1/3 y en general, la raiz enesima de un numero a es a1/n.

La mejor forma de resolver los ejercicios de operaciones con raices es convertir las raices a potencias y operar teneiendo en cuenta las propiedades dadas para la operacion de potenciación.

Raiz cuadrada

1- Para calcular la raiz cuadrada de un número se comienza separando el numero en grupos de dos cifras, empezando por la derecha

Por ejemplo: 5560164 lo separaríamos 5’56’01’64

2- A continuacion se calcula un numero entero que elevado al cuadrado sea igual (o lo mas proximo al numero del primer grupo, empezando por la izquierda).

En nuestro ejemplo el primer numero es 5 y el numero entero que elevado al cuadrado se acerca mas a 5 es 2. 2 es la primera cifra de la raiz.

3- Despues se eleva al cuadrado esta cifra y se resta del numero del primer grupo

En nuestro ejemplo 22 = 4 y restandolo del numero del primer grupo que es 5, sale 5 -4 = 1

4- A continuacion ponemos al lado del resto anterior el numero del siguiente grupo

En nuestro ejemplo nos quedaria 156

5- Despues multiplicamos por 2 el numero que hemos calculado hasta el momento de la raiz.

En nuestro ejemplo seria 2 * 2 = 4

6- A continuacion tenemos que buscar un numero que multiplicado por el numero que resulta de multiplicar por 10 el numero anterior y sumarle el numero quee stamos buscando se acerque lo mas posible al numero que tenemos como resto. Ese numero sera el siguiente numero de la raiz.

En nuestro ejemplo el numero seria 3 porque 43 * 3 = 129 que es el numero que se aproxima mas a 156 y la raiz seria 23…

7- Ahora tenemos que volver a calcular el resto restando el numero obtenido del que queriamos obtener realmente.

En nuetro ejemplo: 156 – 129 = 27

8- A continuacion repetimos el paso 4, esto es, ponemos al lado del resto anterior el numero del siguiente grupo

En nuestro ejemplo: 2701

9- A continuación repetimos el paso 5

En nuestro ejemplo: 23 * 2 = 46

10- Despues repetimos el paso 6

En nuestro ejemplo el numero seria 5 porque 465 *5 = 2325 que es el numero que se aproxima mas a 2701 y la raiz seria 235…

11- Despues repetimos el paso 7

En nuetro ejemplo: 2701 – 2325 = 376

12- A continuacion repetimos el paso 8

En nuestro ejemplo: 37664

13 A continuacion repetimos el paso 5

En nuestro ejemplo seria 235 * 2 = 470

14- A continuacion repetimos el paso 6

En nuestro ejemplo el numero seria 8 porque 4708 * 8 = 37664 que es el numero que se aproxima mas a 37664 y la raiz seria 2358

15- A continuacion repetimos el paso 7

En nuestro ejemplo: 37664 – 37664 = 0 En este caso la raiz es exacta pues el resto es cero.

Raiz cubica

1- Para calcular la raiz cúbica de un número se comienza separando el numero en grupos de tres cifras, empezando por la derecha

Por ejemplo: 16387064 lo separaríamos 16’387’064

2- A continuacion se calcula un numero entero que elevado al cubo se aproxime lo mas posible al numero del primer grupo (empezando por la izquierda).

En nuestro ejemplo el primer numero es 16 y el numero entero que elevado al cubo se acerca mas a 16 es 2. 2 es la primera cifra de la raiz.

3- Despues se eleva al cubo esta cifra y se resta del numero del primer grupo

En nuestro ejemplo 23 = 8 y restandolo del numero del primer grupo que es 16, sale 16 – 8 = 8

4- A continuacion ponemos al lado del resto anterior el numero del siguiente grupo.

En nuestro ejemplo nos quedaria 8387

5- Despues tenemos que calcular un numero a que haciendo las operaciones siguientes:

3 * (raiz obtenida hasta el momento)2 * a * 100 + 3 * (raiz obtenida hasta el momento) * a2 * 10 + a3

se aproxime lo mas posible al numero obtenido en el punto 4.

El número a, es el siguiente dígito de la raiz.

En nuestro ejemplo seria ese número sería 5, porque 3 * 22 * 5 * 100 + 3 * 2 * 52 *10 + 53 = 7625

6- A continuacion restamos este numero al numero obtenido en el paso 4.

En nuestro ejemplo: 8387 – 7625 = 762.

7- Repetimos el paso 4

En nuestro ejemplo: 762064

8- Repetimos el paso 5 y el numero obtenido seria el siguiente numero de la raiz.

En el ejemplo sería el 4 porque 3 * 252 * 4 * 100 + 3 * 25 * 42 *10 + 43 = 762064

9 Repetimos el paso 6

En nuestro ejemplo 762064 – 762064 = 0