” Proporcionalidad “

La proporcionalidad es una relación entre magnitudes medibles. Es uno de los escasos conceptos matemáticos ampliamente difundido en la población. Esto se debe a que es en buena medida intuitiva y de uso muy común. La proporcionalidad directa es un caso particular de las variaciones lineales. El factor constante de proporcionalidad puede utilizarse para expresar las relaciones entre las magnitudes.

 Regla de tres directa 

Las situaciones de proporcionalidad han dado lugar al aprendizaje de recetas conocidas con el nombre de reglas de tres: Si 5 Kg. de patatas cuestan  2’4 euros.¿Cuánto cuestan 7 Kg.? 

 

Resolviendo: 

 

¿ Por qué efectuamos así esta regla ? 

Son magnitudes directamente proporcionales y por lo tanto, los cocientes son iguales: 

 

En general, podemos hacer un esquema para dos magnitudes que sean directamente proporcionales: 

 

No siempre merece la pena aplicar una regla de tres: Si con 10 litros de gasolina recorro 60 Km, con 80 l (8 veces 10 l) recorreré 8 veces más, es decir 8.60=240 Km. 

Actividades 

  • La Ley de Proust, o de las proporciones constantes, afirma que cuando dos sustancias se combinan para formar un compuesto determinado lo hacen siempre en la misma proporción. 

    El hierro y el azufre se combinan, para dar una nueva sustancia: el sulfuro de hierro, siempre en la misma proporción de 7 partes en peso de hierro por cada 4 partes en peso de azufre. 

    7 gr de hierro se combinan íntegramente con 4 gr de azufre. 

    7 Kg de hierro se combinan íntegramente con 4 Kg de azufre. 

    2·7 Kg de hierro se combinan íntegramente con 2·4 Kg de azufre. 

    8·7 Kg de hierro se combinan íntegramente con 8·4 Kg de azufre. 

    Si combinas 7 Kg de hierro con 5 Kg de azufre, ¿qué obtienes? 

    ¿Y si combinas 9 Kg de hierro con 4 Kg de azufre? 

    Rompecabezas 

      

  • 3 bombillas y 4 pilas cuestan 4’2 y una bombilla y 2 pilas cuestan 2’04

     

    Averigua los otros precios indicados. 

    Otro rompecabezas 

     

  • Pascual es repartidor de leche y de huevos. Reparte diariamente y pasa factura al final de la semana. Este es su bloc de notas:
  • Dirección Leche (litros) Huevos (docenas) a pagar…
    Arroyo 1 18 3 15’6
    Arroyo 2 7 2 7’15
    Arroyo 3 25 5  
    Arroyo 4 11 1  
    Arroyo 5 22 2  
    Arroyo 6 15 0  

  • Sólo tiene anotados los precios que tienen que pagar los dos primeros clientes. Ayúdalo a completarlo. 

    Teorema de Thales 

      

  • Calcula en cada caso la longitud x sabiendo que las rectas d y d`son paralelas. 

     

  • Completa la tabla sabiendo que r y son paralelas. 

     

    Proporcionalidad inversa 

  • Si 4 máquinas tardan 10 días en terminar una obra, ¿cuánto tardarían el doble de máquinas?. ¿Y la mitad de máquinas?. ¿Y el triple de máquinas?. 

     

  • ¿Son inversamente proporcionales?a) La ración individual de un cuartel (de provisión fija) y el número de soldados? 

    b) El nº vestidos que se puede cortar de una tela y la cantidad de tela por vestido. ¿Es rigurosamente cierta esta proporcionalidad? 

    c) El tiempo que tarda en llenarse un depósito depende del ancho, del alto y del largo del mismo, de la sección del caño que lo llena y de la velocidad del líquido que pasa por este caño. Indica las magnitudes que son directamente proporcionales y las que son inversamente proporcionales al tiempo. 

  • ¡No te dejes llevar por la rutina! Yo sólo tardo 4 horas en regar el jardín y otras tantas en recorrer 20 Km. A ti te ocurre lo mismo. ¿Cuánto tardaremos los dos juntos?  
  • En un experimento Juan obtiene los siguientes resultados: 

    Sospecha que la relación entre la frecuencia f y la longitud de onda L es de proporcionalidad inversa. 

    Dibuja la gráfica de la frecuencia en función de la longitud de onda. 

    ¿Es cierta la sospecha de Juan? 

    Escribe la ley que relacione F con L. 

  • La densidad de un gas es inversamente proporcional a su volumen. Si conoces que para un densidad de 1’6 Kg/m3 el volumen es 2’1 m3. Halla:a) La densidad cuando el volumen es 2’4 m3

    b) El volumen si la densidad es 0’6 Kg/m. 

    c) La fórmula que relacione la densidad con el volumen. 

  • Con las provisiones de forraje, un pastor puede alimentar durante el invierno un rebaño de 36 cabezas durante tres meses. ¿Cuántos animales debe vender para poder alimentar a su rebaño durante 5 meses?.  
  • Una rueda de 3 m de desarrollo da 178 vueltas para recorrer una determinada distancia. Calcular el número de vueltas que habrá de dar otra rueda de 1’20 m. de desarrollo.Proporcionalidad compuesta 

  • Una gallina y media pone 1 huevo y medio en 1 día y medio, ¿cuántos huevos pondrán 9 gallinas en 9 días?  
  • Un motor funcionando durante 10 días y trabajando 8 horas diarias ha originado un gasto de 1200 ptas. ¿Cuánto gastará el motor funcionando 18 días a razón de 9 horas diarias?.  
  • Con 15 máquinas de escribir durante 6 horas, se escriben 220 folios. ¿ Cuantos folios se escribirán con 45 máquinas durante 12 horas?.  
  • Con 14 rollos de moqueta se ha cubierto un pasillo de 16 m. de largo por 75 cm de ancho. ¿Cuál será la longitud del pasillo de otra casa cuya anchura es de 80 cm si se han necesitado 12 rollos?.  
  • Un caminante recorre 120 Km. andando 8 horas diarias durante 5 días. ¿Cuántas horas necesitará para recorrer 129 Km en 12 días?.  
  • Un depósito puede suministrar 12 litros diarios de agua para 25 familias durante 150 días. ¿Cuántos litros podrán suministrar a 40 familias durante 200 días?.Interés 

      

  • A qué rédito debe colocarse un capital de 625.000 . para que en 200 días produzca 15.000
  • Dos capitales difieren en 20.000 . El menor está colocado al 5 % y el mayor al 4 %. Ambos dan el mismo interés. Halla el capital más pequeño. 
  • Calcular el tiempo que debe estar impuesto un capital, para que se cuadruplique, al 6 % 
  • Dos capitales de 300000 y 700000 . respectivamente depositados a distinto rédito, producen juntos 43000 cada año. Si los réditos se invierten, los intereses de un año suman 47000. Hallar los dos réditos. 

    Repartos proporcionales 

      

  • Dos socios en el primer año de su negocio, obtienen un beneficio de 30.000 . ¿Cuánto corresponde a cada uno si el 1º aporto 30.000 y el 2º 70.000.? 
  • Un pescador tiene 5 truchas y otro 4. Encuentran un cazador sin comida y acuerdan asar y comer los tres a partes iguales, las 9 truchas. El cazador da 21 . ¿Cuanto debe recibir cada pescador? 
  • Dos pueblos colindantes desean construir, conjuntamente y para común utilización, un pabellón deportivo, cuyo presupuesto es de 600.000 . Si la cantidad aportada por cada pueblo es proporcional al número de habitantes, y el número de éstos es de 17.500 y 62.500. Calcular la aportación de cada pueblo. 
  • Un padre francés, de los tiempos del franco, tenía cuatro hijos de 7, 10, 11 y 12 años. Todos estaban de acuerdo en repartir la paga del mes proporcionalmente a la edad de cada uno. 

    Cierto año, durante cada mes repartía 400 francos. ¿Qué parte correspondía a cada hijo? 

    Al año siguiente, el padre decidió entregar 440 francos de paga mensual, aumentando en un 10% la parte de cada niño. Sin embargo el más pequeño protestó por que se sentía perjudicado. ¿Tenía razón? 

  • En una urbanización, se realizan unos trabajos de saneamiento con un importe de 24.000 . El coste está repartido proporcionalmente según la superficie: 750 m2, 840 m2, 650 m2 y 960 m2. ¿Qué parte ha de pagar cada propietario? 

    Mezclas 

      

  • Deseamos obtener 100 Hl de vino de precio 3 . el litro, mezclando vinos de precios 3’5 y 2’3 .¿cuántos litros hemos de mezclar de cada clase? 
  • Un joyero tiene 3 lingotes de oro, uno de 70 gr., a la ley de 0’91, otro de 90 gr a la ley de 0’9 y otro de 40, a la ley de 0’86. Los funde . ¿Cuál será la ley del nuevo lingote? 

    Nota: ley del lingote: cantidad de metal fino del lingote/peso total de éste . 

    Tenemos 2 lingotes de oro, uno a la ley de 0’8 y otro a la ley de 0’9. ¿ En qué proporción debemos mezclarlos para obtener un nuevo lingote a la ley de 0’86 ?. 

  • Se ha de mezclar 62’5 litros de un líquido de densidad 0’98, con otro de densidad 0’9 para obtener una mezcla de densidad 0’95. ¿qué cantidad ha de añadirse al 2º líquido? 
  • Por cada 40 Kg de agua salada hay 3’4 Kg de sal. ¿ Qué peso de agua hay que añadir para que 40 Kg de la nueva mezcla no contengan más de 2 Kg de sal? 

    Proporcionalidad y geometría 

      

  • Determinar las dimensiones de un rectángulo de área 378 m2 y cuyos lados sean proporcionales a 7 y a 9. 
  • Las medidas de los ángulos de un triángulo son proporcionales a los números 2, 3 y 5. Calcula la medida de estos ángulos. 

    La jeringa 

      

  • “El depósito ” de una jeringa es un cilindro de base fija y altura variable. Supongamos que el área de la base de ese cilindro es de 1’2 cm2

    Completa la tabla. 

     

    Dibuja una gráfica representando el volumen en función de la altura. 

    ¿Es el volumen proporcional a la altura? 

    Cierta jeringa contiene 8 cm3 cuando su “altura” es de 5 cm. Cuánto contendrá si su altura fuera de 4 cm. 

  • Área de un disco 

    Completa la tabla:  

     

    ¿Es el área del disco proporcional al radio? 

  • La caja de un vagón de cereales tiene la forma: 

     

    El grano contenido tiene la forma de un prisma de altura constante (en este caso 12 m) 

    Completa la tabla: 

     

    Dibuja una gráfica representando el volumen del prima en función del área de la base. 

    ¿Es proporcional el volumen al área de la base? 

    Cierto vagón contiene 32 m3 cuando el área de la base es 2’5 m. ¿Cuánto contendrá si la base fuera 3 m2?. 

      

  • Área lateral de un cilindro 

    Llamamos h a la altura, p al perímetro y A al área lateral 

    Obtener A en función de h y de

    Supón p = 8 cm. Completa la tabla:

    h 1 2 3 4 5 6 7 8
    A                

    Supón h = 3 cm. Completa la tabla:

    p 2 3 5 7 10 12
    A            

    Calcula el área lateral de un cilindro de altura 5 cm, sabiendo que otro cilindro con el mismo perímetro y una altura de 7 cm tiene un área lateral de 28 cm 

    Calcula el área lateral de un cilindro de 10 cm de perímetro de base sabiendo que otro cilindro de la misma altura y teniendo 15 cm de perímetro tiene un área de 45 cm

      

  • El nenúfarUna hoja de nenúfar flota en el centro de un estanque circular. Su área se duplica día a día. 

    Al cabo de 8 días el área de las hojas es igual a la mitad del área del estanque. 

    Al cabo de cuántos días, las hojas recubrirán el estanque? 

      

  • Área de un triángulo  

    La base OU del triángulo BOU está fija y mide 4 cm. El vértice B se desplaza sobre la recta r perpendicular a la base. 

    .Completa la tabla:

    HB 1 2 3 4 5 10 15 20
    ÁREABOU                

    y traza la gráfica representando el área del triángulo BOU en función de la altura HB. ¿Es proporcional el área a la altura? 

  • Área de un sector circularEn un círculo de radio 4 cm, consideramos un sector circular de ángulo

     

    Completa la tabla:  

    y traza una gráfica que represente el área del sector circular en función del ángulo x. ¿Existe proporcionalidad? 

    Calcula el área de un sector de 70º de un disco de 6 cm de radio. 

  • El área de una esfera es directamente proporcional al cuadrado del radio. Cierta esfera tiene una superficie de 452 mm2 y un radio de 6 mm. Completa esta tabla:
  • r 6 4  
    r2 36    
    S 452   100
  • Halla el área de una esfera de radio 10 mm. 

    Si lanzamos un balón hacia arriba con una velocidad de v m/s alcanza una altura h. Sabemos que la altura es proporcional a la velocidad al cuadrado. 

    Si h = 60 cuando v = 36 halla: 

    h cuando v = 42 

    v cuando h = 90 

  • El freno de mano de un coche falla y rueda hacia abajo por una cuesta. La velocidad que alcanza es proporcional a la raíz cuadrada de la distancia recorrida. Si alcanza una velocidad de 12 m/s después de recorrer 20 m., halla:Velocidad que alcanza a los 30 m. 

    Distancia recorrida cuando alcance una velocidad de 25 m/s. 

  • La energía E acumulada en una cuerda elástica es proporcional al cuadrado de su alargamiento A. Si la extendemos 4 cm, la cuerda acumula 96 julios; halla:E cuando el alargamiento es de 3’2 cm. 

    La fórmula que relaciona E y A. 

  • La ley de cuadrado inverso establece que la fuerza de gravedad que actúa sobre un objeto es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia de dicho objeto al centro de la Tierra.Un objeto situado en la superficie terrestre está a 6.400 Km del centro de la Tierra. Halla: 

    A qué distancia del centro de la Tierra la gravedad es 1/4 de la que existe en la superficie, 

    La gravedad soportada por una nave espacial a 10.000 Km sobre la superficie terrestre. 

  • Éstos son los resultados de distintos experimentos. Calcula el tipo de proporcionalidad y halla la fórmula que relacione las dos variables
  • 12 

    75 

    0’5 

    12 

    18 

    10 

    14 

    18 

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