Números 3nteros

Los números enteros son una generalización del conjunto de números naturales que incluye números enteros negativos (resultados de restar a un número natural otro mayor), además del cero. El hecho de que un número sea entero, significa que no tiene parte decimal.

Los números enteros negativos pueden aplicarse en diversos contextos, como la representación de profundidades bajo el nivel del mar, temperaturas bajo cero, o deudas, entre otros.

    \begin{array}{ll}     \mathbb{C} & \mbox{Complejos}     \begin{cases}          \mathbb{R} & \mbox{Reales}         \begin{cases}               \mathbb{Q} & \mbox{Racionales}                 \begin{cases}                     \mathbb{Z} & \mbox{Enteros}                       \begin{cases}                         \mathbb{N}     & \mbox{Naturales} \\                         \boldsymbol{0} & \mbox{Cero} \\                                        & \mbox{Enteros negativos}                     \end{cases}\\                                 & \mbox{Fraccionarios}                 \end{cases}\\                        & \mbox{Irracionales}         \end{cases}\\          & \mbox{Imaginarios}     \end{cases}    \end{array}

Estructura de los números enteros

Los enteros con la adición y la multiplicación forman una estructura algebraica llamada anillo. Pueden ser considerados una extensión de los números naturales y un subconjunto   de los números racionales (fracciones). Los números enteros son subconjunto de los números racionales o fracciones, puesto que cada número entero puede ser considerado como una fracción cuyo denominador es el número uno.

Los números enteros pueden ser sumados y/o restados, multiplicados y comparados. Si la división es exacta, también pueden dividirse dentro del mismo conjunto de los enteros. La razón principal para introducir los números negativos sobre los números naturales es la posibilidad de resolver ecuaciones del tipo:

a + x = b

para la incógnita x.

Matemáticamente, el conjunto de los números enteros con las operaciones de suma y multiplicación, (\mathbb Z,+,\cdot) constituye un anillo conmutativo y unitario. Por otro lado, (\mathbb{Z}, \leq), donde \leq es el orden usual sobre \mathbb{Z}, es un conjunto completamente ordenado sin cota superior o inferior: los enteros no tienen principio ni fin. El conjunto de los números enteros se representa mediante \mathbb{Z} (el origen del uso de Z es el alemán Zahl, «número» o «cantidad»).

 Construcción formal de los enteros a partir de los naturales

Un número entero negativo puede ser definido mediante la diferencia de dos números naturales. Por ejemplo − 3 = 5 − 8, de donde puede asociarse el número − 3 con el par ordenado (5,8) de números naturales. Sin embargo, debido a que (4,7) y una infinidad más de pares ordenados dan como resultado − 3 al restar sus componentes, no puede decirse simplemente que − 3 = (5,8). Lo que puede hacerse, es incluir todos los pares ordenados de números naturales, que dan como resultado − 3 al restar sus componentes, dentro de un solo conjunto, o, más exactamente, dentro de una clase de equivalencia. Para ello, aprovechamos el que dos pares ordenados (a,b) y (c,d) puedan ser asociados al mismo número entero si:

(1) ~a-b=c-d.

El único problema es que la ecuación (1) no está definida en \mathbb{N} cuando a < b. Pero esto se remedia fácilmente, al notar que

~a-b=c-d equivale a ~a+d=b+c

Ciertamente a+b\in\mathbb{N} para cualesquiera a,b\in\mathbb{N}, de tal manera que puede definirse una relación \sim sobre \mathbb{N}\times\mathbb{N} mediante:

(a,b)\sim (c,d)\quad si y solo si ~a+d=b+c

La relación \sim es una relación de equivalencia que produce en \mathbb{N}\times\mathbb{N} una partición en clases de equivalencia, cada una de las cuales puede ser asociada a un único número entero y viceversa. Por ejemplo:

~[(4,7)]=[(2,5)]=[(5,8)]=[(1,4)]=-3

Si admitimos el cero como número natural, podemos definir:

\begin{cases} ~[(n,0)]=n  \\ ~[(0,n)]=-n \end{cases} | info=para todo n\in\mathbb{N}

Si no se acepta el cero como número natural, y se parte, en cambio, del 1, se define entonces

\begin{cases} ~[(n+1,1)]=n  \\ ~[(1,n+1)]=-n \end{cases} | info=para todo n\in\mathbb{N}

Luego el cero puede definirse como:

~0=[(n,n)] | info=para todo n\in \mathbb{N}

El escoger (n,0) y (0,n) (o (n + 1,1) y (1,n + 1) para cuando no se acepta 0\in\mathbb{N}), para las definiciones anteriores es una decisión completamente arbitraria que toma en cuenta la sencillez de estos pares ordenados. Nótese que, de cualquier forma,

\begin{cases} ~[(n+m,m)]=n  \\ ~[(m,n+m)]=-n \end{cases} | info=para todo n\in\mathbb{N}

Se define pues el conjunto de los números enteros como el conjunto:

(2)  \mathbb{Z}=\{[(a,b)]_{\sim}\mid (a,b)\in\mathbb{N}\times \mathbb{N}\}

de todas las clases de equivalencia producidas por la relación \sim sobre el producto cartesiano \mathbb{N}\times\mathbb{N}. Esto es, \mathbb{Z} es el conjunto cociente:

(3) \mathbb{Z}=\left(\mathbb{N}\times\mathbb{N}\right) /\sim.

 Definición de adición y multiplicación sobre números enteros

Se define la adición ( + ) sobre \mathbb{Z} como sigue:

~[(a,b)]+[(c,d)]=[(a+c\ ,\ b+d)] | info=para todo a,b,c,d \in \mathbb{N}

teniendo previamente definida la adición sobre \mathbb{N}. La definición anterior no depende de los representantes a,b,c,d \, escogidos puesto que, por tanto cualesquiera pares iniciales escogidos conducen al mismo resultado:

(a-b)+(c-d)=(a+c)-(b+d) \,

La multiplicación (\cdot) sobre \mathbb{Z} se define como sigue:

~[(a,b)]\cdot[(c,d)]=[(ac+bd\ ,\ ad+bc)] | info=para todo n\in \mathbb{N}

teniendo previamente definida la multiplicación sobre \mathbb{N}. La definición anterior está correctamente definida debido a que:

(a-b)(c-d)=(ac+bd)-(ad+bc) \,

 Propiedades de los números enteros

 Propiedades de clausura

Si a,b\in\mathbb{Z}, existen (m,n),(p,q)\in\mathbb{N}\times\mathbb{N} tales que:

a=[(m,n)] \qquad b=[(p,q)] \,

y, de esto,

a+b=[(m,n)]+[(p,q)]=[(m+p\ ,\ n+q)].

De la clausura de la adición sobre \mathbb{N}, se sigue, por definición, que

a+b\in\mathbb{Z}

Se tiene que la adición sobre el conjunto de los números enteros verifica la propiedad

  • Para cualesquiera a,b\in\mathbb{Z},\qquad a+b\in\mathbb{Z}

Lo mismo cumple la multiplicación sobre \mathbb{Z}:

  • Para cualesquiera a,b\in\mathbb{Z},\qquad a\cdot b\in\mathbb{Z}

 Propiedades asociativas

Las propiedades asociativas de la adición y la multiplicación sobre \mathbb{Z} se siguen fácilmente de las definiciones de estas operaciones. Estas propiedades son:

  • Para cualesquiera a,b,c\in\mathbb{Z},\qquad a+(b+c)=(a+b)+c

y

  • Para cualesquiera a,b,c\in\mathbb{Z},\qquad a\cdot(b\cdot c)=(a\cdot b)\cdot c

 Propiedades conmutativas

Puesto que [(m,n)]+[(p,q)]=[(m+p\ ,\ n+q)]=[(p+m\ ,\ q+n)]=[(p,q)]+[(m,n)] para cualesquiera m,n,p,q\in \mathbb{N}, tenemos que

  • Para cualesquiera a,b\in\mathbb{Z},\quad a+b=b+a.

Esta es la propiedad conmutativa de la adición sobre \mathbb{Z}. Esta propiedad la tiene también la multiplicación:

  • Para cualesquiera a,b\in\mathbb{Z},\quad a\cdot b=b\cdot a.

 Propiedad distributiva

Sean los enteros [(a,b)], [(c,d)] y [(m,n)]. Tenemos

[(m,n)]\cdot \left( [(a,b)]+[(c,d)]\right) ~= [(m,n)]\cdot [(a+c\ ,\ b+d)]
  ~= \left[\left(m(a+c)+m(b+d)\ ,\ n(a+c)+n(b+d)\right)\right]
  ~= \left[\left((ma+mb)+(mc+md)\ , \ (na+nb)+(nc+nd)\right)\right]
  ~= [(m,n)]\cdot [(a,b)]+[(m,n)]\cdot [(c,d)].
     
     
     
     
     
     
     
     

Por tanto se cumple la siguiente propiedad distributiva

  • Para cualesquiera m,a,b\in\mathbb{Z},\quad m(a+b)=ma+mb

 Existencia de elementos neutros

El cero, 0 = [(n,n)], n\in\mathbb{N}, tiene la característica de que para todo entero [(a,b)],

[(a,b)]+[(n,n)]=[(a+n\ ,\ b+n)],

y como a + (b + n) = b + (a + n) sean cuales sean los números naturales a,b,n, tenemos (a,b)\sim(a+n\ ,\ b+n), de donde [(a,b)]=[(a+n\ ,\ b+n)], por lo que el cero es un elemento neutro para la adición sobre \mathbb{Z}. En

  • ~a+0=a para todo a\in\mathbb{Z}.términos más sencillos,

Se define 1\in\mathbb{Z} como sigue:

1=[(1+n\ ,\ n)].

Vemos que, para todo entero [(a,b)],

[(a,b)]\cdot [(1+n\ ,\ n)]=[(a+an+bn\ ,\ an+b+bn)],

y, puesto que (a,b)\sim(a+an+bn\ ,\ an+b+bn), resulta que 1 es un elemento neutro para la multiplicación sobre \mathbb{Z}. Es decir,

  • a\cdot 1=a para todo a\in\mathbb{Z}pt.

a+b _ c

 Existencia de elemento opuesto

  • Para cada número a \, existe un elemento opuesto que denotaremos por \bar{a} \, tal que:
a+\bar{a} =\bar{a}+a = 0

Para demostrar que existe el elemento opuesto podemos constrirlo explícitamente como \bar{a} = [(0,a)] = -a, que cumple obviamente la propiedad anterior:

\begin{cases} {a+\bar{a}=[(a,0)]+[(0,a)] = [(a,a)] = 0} \\  {\bar{a}+a=[(0,a)]+[(a,0)] = [(a,a)] = 0} \end{cases}

 Unicidad del elemento opuesto

Además este opuesto es único. Esto significa que para cada entero existe un único número tal que sumado con él el resultado es cero. Para verlo podemos suponer que existen dos opuestos \bar{a} y \bar\bar{a}, entonces sucede que:

\begin{cases} {a+\bar{a}=0} \\  {a+\bar\bar{a} = 0} \end{cases} \Rightarrow {\bar{a}+(a+\bar{a})=\bar{a}+(a+\bar\bar{a})} \Rightarrow {(\bar{a}+a)+\bar{a}=(\bar{a}+a)+\bar\bar{a}} \Rightarrow {\bar{a}=\bar\bar{a}}

En esta prueba de que el elemento opuesto hemos usado la propiedad asociativa y la unicidad del elemento neutro.

 Propiedades cancelativas

Sean a,b,c\in\mathbb{Z} y a + b = a + c. Tenemos que gracias a la existencia del elemento opuesto:

a+b=a+c\quad \Rightarrow\quad -a+a+b=-a+a+c\quad \Rightarrow\quad 0+b=0+c\quad \Rightarrow\quad b=c

Por tanto, se cumple la siguiente propiedad cancelativa

  • Para todo a,b,c\in\mathbb{Z},\quad a+b=a+c\quad \Rightarrow\quad b=c.

Para la multiplicación también se cumple la propiedad cancelativa, aunque para demostrar esto debe utilizarse un método distinto, ya que no todo elemento de \mathbb{Z} es una unidad (esto es, no todo entero tiene un inverso), y por tanto \mathbb{Z}, con su multiplicación, no es un anillo de división. La prueba que sigue de la propiedad cancelativa para la multiplicación se basa en el hecho de que \mathbb{Z} es un dominio íntegro. Sean pues a,b,c\in\mathbb{Z}, y ab = ac con a\neq 0. Tenemos que abac = 0, y de la propiedad distributiva a(bc) = 0, o sea que bc = 0, lo que demuestra que b = c.

Se cumple pues la propiedad cancelativa siguiente:

  • Para todo a,b,c\in\mathbb{Z}, con a\neq 0,\quad ab=ac\quad \Rightarrow\quad b=c.

 Propiedades de orden

  • Si a = b Entonces b = a

 Propiedad reflexiva del orden

  • a = a

 Propiedad antisimétrica del orden

  • Si ab y ba, entonces a = b.

 Propiedad transitiva del orden

  • Si a < b y b < c, entonces a < c.

 Compatibilidad del orden con las operaciones

  • Si ab entonces a+cb+c,

para todo c ∈\mathbb{Z}.

  • y si c ≥ 0, con ab entonces a cb c

 Propiedad o axioma de la buena ordenación

  • Sea S un subconjunto no vacío de ℤ, acotado inferiormente, entonces S tiene primer elemento.

Este axioma indica que el conjunto S tiene un ínfimo y un supremo, lo que quiere decir es que S del conjunto de cotas superiores y cotas inferiores tiene un elemento menor de las cotas superiores llamado supremo que a su vez es mayor que todos los elementos del conjunto S.

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